新高考模式下高中數(shù)學經(jīng)典習題解析

【關鍵詞】經(jīng)典習題；高中數(shù)學；解題技巧

在當前新高考背景下，高中數(shù)學解題過程中，需注重培養(yǎng)學生的核心思維，結(jié)合社會熱點設計多種形式的題目.針對當前高中數(shù)學解題現(xiàn)狀，教師應依據(jù)新高考的具體要求，對各種類型的題目進行梳理與總結(jié)，得出題目正確答案.

例1設M=a2－5a+6，N=2a（a－2）+9，則有（）

（A）M>N.（B）M≥N.

（C）M<N.（D）M≤N.

解析結(jié)合題目中的條件，作差得到M－N=－a2－a－3=－a+122－114<0，所以M<N.

小結(jié)本題主要考查代數(shù)式的化簡與大小比較，可利用作差法判斷兩個代數(shù)式的大小關系.解題時，需先計算兩個代數(shù)式的差值，再分析差值的符號，進而判斷兩個代數(shù)式的大?。躘1＼].本題考查了二次式的展開與合并同類項等基礎知識.在解答過程中，利用作差法計算出M-N=-a2-a-3，分析該二次式在整個實數(shù)范圍內(nèi)均小于0，從而得出M<N的結(jié)論.因此，正確答案是（C）.

例2設有一顆彗星沿橢圓軌道繞地球旋轉(zhuǎn)，橢圓軌道的焦點處為地球，當彗星與地球相距m萬千米和43m萬千米時，地球和彗星的直線與橢圓的長軸夾角分別是π2和π3，求彗星和地球之間的最近距離.

解析本題結(jié)合具體實例，將實物圖象與橢圓的概念相結(jié)合，對數(shù)學基本概念進行探討.在解題過程中，需充分運用相關數(shù)學知識，增強實際解題與運用能力.在充分審題的基礎上，挖掘題目中的隱含條件，在解題中培養(yǎng)數(shù)學思維品質(zhì).

解如圖1所示，構(gòu)建平面直角坐標系，設地球位于焦點F（－c，0）處，橢圓方程為x2a2+y2b2=1.

直線與橢圓的長軸夾角為π3情況下，結(jié)合橢圓的幾何意義，彗星A滿足∠xFA=π3（或∠xFA′=π3）.

作AB⊥x軸于點B，

則FB=12FA=23m.

結(jié)合橢圓的第二定義，

有m=caa2c－c①，43m=caa2c－c+23m②，

兩式相減可得13m=ca·23m，

所以a=2c，

代入①式得m=12（4c－c）=32c，

所以c=23m，

所以a－c=c=23m.

因此，彗星與地球的最近距離為23m萬千米.

小結(jié)結(jié)合天體運行規(guī)律，彗星繞恒星運行的軌道可近似為橢圓，恒星位于橢圓的一個焦點上，橢圓的兩個焦點對應的彗星位置中，一個是近地點，另一個則是遠地點，兩點到恒星的距離分別為a－c、a+c.解題時，將這些條件代入相關公式進行計算，即可得出最終的答案.

例3如圖2所示，在平面xOy內(nèi)，已知定點P（－3，0），動點Q，R分別位于x，y軸上，滿足PR·RQ=0.如果點M滿足條件：QM=2MR.

（1）求點M的軌跡C的方程；

（2）如果直線l：y=kx（k>0）與點M的軌跡C所圍成區(qū)域的面積為9，求k的值.

解（1）結(jié)合題目條件，設M（x，y），Q（x1，0），R（0，y1），

則QM=（x-x1，y），MR=（-x，y1-y）.

結(jié)合QM=2MR，

有x－x1=－2x，y=2（y1-y）.

所以x1=3x，y1=32y.

因為P（-3，0），

得出PR=3，32y，RQ=3x，－32y.

因為PR·QR=0.

所以9x－94y2=0，

所以y2=4x.

（2）解方程組y=kx，y2=4x，

有x1=0，y1=0或x2=4k2，y2=4k，

因此直線l和軌跡C的交點坐標是（0，0），4k2，4k，

得出∫4k20（2x－kx）dx=9，

若F（x）=43x32－k2x2.

因此F（x）′=2x－kx，

得出F4k2－F（0）=9.

有434k232－k24k22=9，

323k3－8k3=9，

k=23.

結(jié)語

在當前新高考背景下，高中數(shù)學解題教學需堅持創(chuàng)新思維，秉持“以學生為本”的理念，從促進學生理解的角度設計解題環(huán)節(jié).教師在引導探索問題的過程中，可以促進學生深入理解題目要求，這一過程需滿足當前課程教學改革的實際要求.學生在具體解題過程中，需通過深入思考，將所學的課程理論知識與題目相結(jié)合，在實踐中促進學生把握課程知識內(nèi)容。（剩余493字）