二次型化標(biāo)準(zhǔn)形的方法探究
摘 要:二次型是線性代數(shù)的重要組成部分,為了方便計(jì)算我們通常會(huì)把二次型轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形.本文主要講述了化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的幾種方法:正交變換法、合同變換法、雅可比法、配方法.
關(guān)鍵詞:二次型;標(biāo)準(zhǔn)形;正交變換法;合同變換法;配方法
1 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的基本方法
本文主要分析了將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的四種方法:正交變換法、合同變換法、雅可比法以及配方法.
1.1 正交變換法
分析:運(yùn)用正交變換X=CY,首先要注意C必須是一個(gè)正交矩陣,CTAC=B當(dāng)中對(duì)稱(chēng)矩陣A與對(duì)角陣B是合同的,并且CT=C-1,這是因?yàn)椴荒苤苯雍贤瑢?duì)角化,需要利用相似對(duì)角化C-1AC=B來(lái)進(jìn)行,這就要求C為正交矩陣,否則無(wú)法進(jìn)行CTAC=C-1AC=B這一步驟.
具體步驟:第一步先將二次型表示成矩陣表達(dá)式f=XTAX,求出矩陣A;接著根據(jù)公式λE-A=0求出A所有的特征值λ1,λ2,…,λn;然后求出對(duì)應(yīng)于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量ξ1,ξ2,…,ξn,并將這組特征向量正交化、單位化,就可以得到向量組η1,η2,…,ηn,記C=(η1,η2,…,ηn);最后做正交變換X=CY,就可以得到要求的二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。(剩余5358字)
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