構(gòu)造“物、影三角形”解北京初三一模幾何綜合題

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定義：物、影三角形

如圖1， ΔADE 與 ΔABC 是位似三角形，我們把其中的一個(gè)三角形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，如圖2,我們把圖1和圖2這樣的兩個(gè)三角形稱為“物、影三角形”，即若把其中一個(gè)三角形看作是物體，則另一個(gè)三角形可以看成是這個(gè)三角形的影子.兩個(gè)物影三角形會(huì)有如下性質(zhì)：

1.連接“物、影三角形”另外兩個(gè)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所得線段的比，等于“物、影三角形”中任意一個(gè)三角形夾以公共頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的那個(gè)角兩邊的比;

2.連接“物、影三角形”另外兩個(gè)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所得直線的一組夾角，等于“物、影三角形”以公共頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的那個(gè)對(duì)應(yīng)角的度數(shù).

圖1

圖2

性質(zhì)證明.已知：如圖3,ΔADE 與 ΔABC 是一對(duì)“物、影三角形”.（通過(guò)旋轉(zhuǎn)可知點(diǎn)B 與點(diǎn) D 是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，點(diǎn) C 與點(diǎn) E 是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)），連接 BD ，CE ，如圖3.

圖3

求證： 或 ，直線 BD 與 CE 的夾角等于 ∠DAE （或 ∠BAC, ）

證明：因?yàn)? ，所以 ∠BAD= ∠CAE. 因?yàn)? 所以 ΔBAD～ΔCAE

所以 （2 ∠ACE=∠ABD. 在ΔABG 與 ΔFCG 中，因?yàn)?∠ACE=∠ABD ， ∠AGB= ∠FGC ,所以 ∠BFC=∠BAC. 證畢.

說(shuō)明 兩個(gè)三角形繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)任意角度，上述兩條性質(zhì)不變.

2025年北京各區(qū)一模試卷中有五個(gè)區(qū)的試卷中的27題（又稱為幾何綜合題）均可用此性質(zhì)快速解決，下面筆者選取兩例以飱讀者.

例1（2025年北京市東城區(qū)一模第27題）如圖4,在 RtΔABC 中， ∠ACB=90°,AC=BC ，點(diǎn) D 在AB 上 (AD

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

(2）求證： ED=BD ：

（3）用等式表示線段 AE 與 BF 的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖4

圖5

思路分析 （1）補(bǔ)全圖形，如圖5；（2）略(3）線段 AE 與 BF 的數(shù)量關(guān)系為： AE=2BF ：

根據(jù)“物、影三角形”的性質(zhì)，由線段 BF 我們想到構(gòu)造以等腰 RtΔCDF 為一個(gè)三角形的“物、影三角形”，如圖6，此時(shí)等腰 RtΔCDF 與等腰 RtΔCBH 是一對(duì)“物、影三角形”，由“物、影三角形”的性質(zhì)可得 ；為了找到線段 AE 與 DH 的數(shù)量關(guān)系，我們?cè)贅?gòu)造“物、影三角形”：等腰 RtΔEDB 與等腰RtΔABH ，如圖7，由“物、影三角形”的性質(zhì)可得 AE ；所以 ,證明完畢.

圖6

圖7

例2（2025年北京市房山區(qū)一模第27題）如圖8，在ΔABC 中， ∠BAC= 90°,AB=AC,D 是 AB 邊上一點(diǎn). E 為 BC 的

圖8

中點(diǎn).將線段 DC 繞點(diǎn) D 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90° 得到 DF ,連接 AF

（1）依題意補(bǔ)全圖形；(2）若點(diǎn) N 是 AF 的中點(diǎn)，連接 ND 和 NE ,猜想線段 ND 與 NE 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明

思路分析 （1）補(bǔ)全圖形如圖9；

圖9

圖10

（2）觀察圖10不難猜測(cè)出線段 ND 與 NE 的數(shù)量關(guān)系是 ND=NE ，位置關(guān)系是 ND⊥NE ，下面我們來(lái)尋找證明思路：圖中應(yīng)該有等腰 RtΔABC 和等腰RtΔDFC ,若連接 AE 還有其他等腰直角三角形，所以我們假定 ΔDNE 是等腰直角三角形來(lái)尋找其“物、影三角形”尋求破解之法.

思路 我們以點(diǎn) D 為公共頂點(diǎn)來(lái)構(gòu)造“物、影三角形”：

如圖11，找線段 FC 的中點(diǎn) G ，并連接DG，則有“物、影三角形”：等腰 RtΔDNE 和等腰 RtΔDGC ，而要證明 ΔDNE 是等腰直角三角形，我們就得先證明

即證明“物、影三角形”性質(zhì)成立的那對(duì)三角形），首先有 ,又知點(diǎn) N ，G 分別是 AF,FC 的中點(diǎn)，于是得 2NG=AC ,又 AC ，所以 ，現(xiàn)在還需證明 ∠DGN=

圖11

∠DCE ，而 ∠DCE+∠ACD=45° ，為了得到這樣的角，我們連接點(diǎn) G 和 DF 的中點(diǎn) H ，于是 ∠DGN+ ∠NGH=45° ,由中位線知道 GN//AC,GH//CD ，兩個(gè)銳角的兩邊分別平行，于是得到 ∠NGH=∠ACD ，所以 ∠DCE=∠DGN ，所以有 ΔDNG～ΔDEC ，于是得 且 ∠CDE=∠GDN ，因?yàn)?∠CDE+ ∠EDG=45° ，所以 ∠GDN+∠EDG=45°=∠EDN 因?yàn)? 所以 ΔDNE 是等腰直角三角形，分析完畢.

當(dāng)然，以點(diǎn) D 為頂點(diǎn)還有其他構(gòu)造方法。（剩余4082字）