直線上負長度增長率系統(tǒng)

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Dynamics on line with negative growth rate of length

DING Mingzhou,HE Baolin*

(Mathematicsand Science College,Shanghai Normal University,Shanghai 2Oo234,China)

Abstract:In order to study the entropy continuity of differential homeomorphic systems on a straight line,the second author ofthis paper first introduces the length growth rate of differential homeomorphic systems ona straight line.This paper mainly proves that for the orientation-preserving diffrential homeomorphism on a straight line, the system has a negative length growth rate if and only if the system has an unique fixed point, which is attracting. For general differential homeomorphic systems on a straight line, we only obtain partial results.

Keywords:differential homeomorphism；length growth rate；orientation-preserving；orientation-reserving; attracting fixed point

0引言

在文獻[1]中，為了研究直線上微分同胚系統(tǒng)的熵的連續(xù)性，首次引入了直線上同胚系統(tǒng)的長度增長率．由于負長度增長率不提供熵，該文沒有刻畫此類系統(tǒng)．基于[1]中長度增長率的定義，本文給出了一個長度增長率的估計，并刻畫了直線上具有負長度增長率的微分同胚系統(tǒng)．若 R 上微分同胚是單增的，則稱為保向的.

定理1 (1)設(shè) f 為 R 上微分同胚且 l(f)′(p)|′(p)|

定理2設(shè) f 為 R 上保向微分同胚，則 l(f)′(p)

顯然，定理1可直接得到定理2.定理2完全刻畫了直線上具有負長度增長率的保向微分同胚．下面，給出本文需要的基本定義.

定義1設(shè)連續(xù)映射 f:R?R, 稱 p 為 f 的不動點，若 f(p)=p 不動點 p 稱為吸引不動點，若存 在 p 的鄰域 I, 使得對任意 :x∈I,limn?+∞fn(x)=p. （2

不難驗證，若 |f′(p)|

定義 2[3] 設(shè) X 為度量空間， 同胚．令 K?X 為緊子集．設(shè) ε>0; 一個子集 E?K 被稱為 K 的 (n,ε)- 分離集，若對任意 x,y∈E, 存在

i∈{0,1,?,n-1},

滿足 d(fix,fiy)>ε. 令

式中： #E 表示 E 中元素個數(shù)．稱

為 f 在 K 上的拓撲熵． f 的拓撲熵定義為

h(f)=supK?Xh(f,K),

其中 K 取遍 X 的所有緊子集

下面長度增長率的定義是[1]引入的，刻畫了長度增長率與熵的緊密聯(lián)系，

定義3若 I 為有界區(qū)間，令 f 在 I 上的長度增長率為

對一般區(qū)間 令 f 在 J 上的長度增長率為

l(f,J)=supI?Jl(f,J),

式中： I 取遍 J 的有界子區(qū)間．特別地， l(f,R) 簡記為 l(f), 稱為 f 的長度增長率

定義直線上保向和反向同胚．顯然，直線上同胚分成保向與反向兩類動力系統(tǒng)．WALTERS[3]證明了長度增長率的基本迭代性質(zhì).基于這個性質(zhì)，可以把直線上所有系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為保向(嚴格增)同胚系統(tǒng)

引理1對 R 上任意微分同胚與任意正整數(shù) k, 有 l(fk)=kl(f) 由于本文方法需要導數(shù)估計長度增長率，不能刻畫一般同胚系統(tǒng)的長度增長率，

1定理的證明

本章將給出長度增長率的估計，并完成定理的證明，即直線上保向微分同胚系統(tǒng)具有負長度增長率，當且僅當它具有唯一不動點，且該不動點為吸引的.

引理2設(shè) f 為 R 上同胚，有界區(qū)間 I?R, 且存在正整數(shù) N 以及 0

則 特別地，若 {(fn+1） =+∞,則l（f）=+∞.

證明由于對任意 n?N 有：

則

由上確界定義知：

再由 l(f,I) 的定義可得：

特別地，若 +）=+∞,則l(f,I)=+∞.由l(f）的定義可得l(f)=+∞.

下面證明定理1.

引理3設(shè) f(x) 為 R 上微分同胚， p∈R, 且對任意 x∈R, 有 fn(x)p, 則

證明由于 f 連續(xù)可導，則對任意 ε>0 ，存在正數(shù) δ, 使得對任意 x∈(p-δ,p+δ)

|f′(x)-f′(p)|

設(shè) I=[a,b] 為 R 上有界區(qū)間，由 p 的整體吸引性知，存在正整數(shù) N, 使得當 n>N 時，對任意 x∈I 都有：

p-δn(x)

從而對任意 x∈fn(I). 有 |f′(x)-f′(p)|

由Lagrange中值定理知，存在 ξn∈[fn(a),fn(b)] 使得：

即

由對任意 x∈fn(I), 有 |f′(x)-f′(p)|′(ξn)∈[f′(p)-ε,f′(p)+ε]. ，則對任意 n>N 有：

從而由引理2知：

故

再由 l(f) 的定義可知，取遍 R 上有限區(qū)間 I,

綜上所述，

下面證明定理2.

證明先證充分性．由于 f 有唯一不動點 p 且 f′(p)0 。（剩余5861字）